Тема: розв’язання компетентісних задач з математики у 8 класі.

Мета: ознайомити учнів з технологією розв'язання компетентісних задач з математики з використанням Reduce. По завершенню вонання роботи учень розв’язує компетентнісні задачі, що передбачають:

• змістовний аналіз формулювання задачі;
• побудову інформаційної моделі;
• розробку стратегії пошуку інформаційних матеріалів;
• пошук інформаційних матеріалів, зокрема в інтернет-ресурсах;
• добір двох засобів опрацювання даних (текстовий процесор, графічний редактор, редактор презентацій, табличний процесор, навчальне середовище виконання алгоритмів);
• опрацювання даних;
• подання результатів розв’язування задачі відповідно до аудиторії.

Обладнання: комп'ютери з встановаленими ОС завантаженим дистрибутивом Reduce.

Структура уроку

1. Організаційний момент.
2. Актуалізація опорних знань.
3. Відповіді на питання щодо умов завдань.
4. Інструктаж з ТБ.
5. Виконання завдань.
6. Підбиття підсумків уроку.
7. Домашнє завдання.

Хід уроку

1. Організаційний момент
Вітання з класом. Перевірка присутності і готовності учнів до уроку. Перевірка виконання домашнього завдання.

Мотивація навчання (Загальна характеристика курсу математики)
Навчання математики у базовій школі передбачає формування предметної математичної компетентності згідно з вимогами Державних стандартів і Державних навчальних програм. Основними завданнями курсу алгебри є формування умінь виконання тотожних перетворень цілих і дробових виразів, розв’язування рівнянь і нерівностей та їх систем. Умінь, достатніх для вільного їх використання у вивченні математики і суміжних предметів, а також для практичних застосувань математичного знання. Важливим є залучення учнів до використання рівнянь і функцій як засобів математичного моделювання реальних процесів і явищ, розв’язування на цій основі прикладних та інших задач.

Основу курсу становлять перетворення раціональних та ірраціональних виразів. Важливо сформувати уміння вільно виконувати основні види перетворень таких виразів, що є передумовою подальшого успішного засвоєння курсу та використання математичного апарату під час вивчення інших шкільних предметів. Розглядається поняття степеня з цілим показником та його властивості. Відомості про рівняння доповнюються поняттям рівносильних рівнянь. Процес розв’язування рівняння тлумачать як послідовну заміну даного рівняння рівносильними йому рівняннями. Курс передбачає вивчення лінійних рівнянь, квадратних рівнянь та рівнянь, які зводяться до лінійних або квадратних. Розглядаються системи лінійних рівнянь та рівнянь другого степеня з двома змінними. Щодо останніх, то увагу зосереджено на системах, де одне рівняння — другого степеня, а інше — першого степеня. Передбачено розгляд лише найпростіших систем рівнянь, у яких обидва рівняння другого степеня.

Значне місце відводять застосуванню рівнянь до розв’язування різноманітних задач. Ця робота має пронизувати всі теми курсу. Важливе значення надається формуванню умінь застосовувати алгоритм розв’язування задачі за допомогою рівняння.

Елементарні відомості про числові нерівності доповнено і розширено за рахунок вивчення властивостей числових нерівностей, розгляду лінійних нерівностей з однією змінною та квадратних нерівностей та їх розв’язування. Розглядають розв’язування систем двох лінійних нерівностей з однією змінною.

У 8 класі в темах «Раціональні вирази» та «Квадратні корені» учнів ознайомлюють з функціями: у = k/х,    у = x²,    y = x^1/2 та їхніми властивостями.

2. Актуалізація опорних знань

1. Що таке раціональний вираз?

2. Що таке рівняння з однією змінною?

3. Що таке стандартна форма подання многочлена?

4. Що таке рівносильні рівняння, нерівності, системи чи сукупності співвідношень?

5. Які вимоги до відповіді до розв'язання рівняння, нерівності, системи чи сукупності співвідношень з однією змінною (без параметрів)?

6. Сформулюйте теорему Вієта про співвідношення між коефіцієнтами зведеного квадратного рівняння і його коренями.

3. Відповіді на питання щодо умов завдань

Примітка. Подані дані умови потрібно роздати учням заздалегідь, наприклад за тиждень до проведення уроку. У разі відсутності питань негайно переходити до інструктажу з ТБ.

Задача 1 (раціональні вирази, раціональні дроби, основна властивість раціо­нального дробу). Записати раціональний дріб, який містить лише одну змінну х, допустимою величиною якої є усі числа, крім – 10, – 8 і 1.

Задача 2 (арифметичні дії з раціональними дробами). Знайти величину виразу при а=113:

Задача 3 (раціональні рівняння, рівносильні рівняння). Розв’язати рівняння:

Задача 4 (степінь із цілим показником та його властивості, стандартний вигляд многочлена). Подати многочлен у стандартному вигляді:

Задача 5 (функція у = k/х, її графік і властивості). Побудувати в одній системі координат графіки функції у = 6/х і у = х + 5, визначите координати точок їх перетину. Скласти квадратне рівняння, коренями якого є асциси (коор­динати х) точок перетину графіків.

Задача 6 (функція у = x², її графік і властивості). Побудуйте в одній системі координат графіки функції у = x², і у = 8/х, визначте координати точки їх перетину. Скласти квадратне рівняння, коренями якого є коор­динати точки перетину графіків.

Задача 7 (арифметичний квадратний корінь, властивості арифметичних квадратних коренів). Визначити b при ab = 15^1/2 + 5^1/2 і a = 5^1/2.

Задача 8 (функція y = x^1/2, її графік і властивості). Побудувати в одній системі координат графіки функції y = x^1/2, y = x² і у = 8/х, визначите координати точки їх перетину. Скласти неповне квадратне рівняння, в якому вільний член дорінює сумі абсцис (координат х) точок їх перетину.

Задача 9 (тотожні перетворення, які містять квадратні корені). Спростити:

Задача 10 (розв'язування неповних квадратних рівняннь). Записати відповідне неповне квадратне рівняння:

Задача 11 (формула коренів квадратного рівняння). Знайти суми квадратів коренів рівняння:

1. x² – 5x + 6 = 0;
2. x² + 6x + 8 = 0;
3. x² + 2x – 3 = 0;

Задача 12 (теорема Вієта та обернена до неї теорема, квадратний тричлен, розкладання квадратного тричлена на лінійні множники). Вставити замість знака «?» відповідний квадратний тричлен.

Задача 13 (розв’язування рівнянь, які зводяться до квадратних). Розв’язати рівняння (зазвичай використовують метод заміни змінної). Знайдіть суму коренів рівняння:

Задача 14 (квадратне рівняння як математична модель текстової задачі). Турист планував пройти 24 км за деякий час. Збільшивши заплановану швидкість руху на 1 км/год, він подолав намічений шлях на 2 год швидше. За який час планував турист пройти 24 км?

4. Інструктаж з ТБ
5. Виконання завдань

1. Аналіз формулювання задач — до уроку з уточненням умов на уроці.

2. Побудова інформаційної моделі.

3. Розробку стратегії пошуку інформаційних матеріалів — формулювання вимог до програмного забезпечення, придатного до використання при розв'язуванні задач в умовах навчального закладу — вільнопоширюване ПЗ з простим інтерфейсом для проведення аналітичних розрахунків, бажано придатне для розв'язування широкого класу завдань у майбутньому — на рівні студента, аспіранта, науковця.

4. Пошук інформаційних матеріалів — систем алгебричних обчислень та їхніх описів у інтернет-ресурсах.

5. Добір засобів опрацювання даних. Для даних завдань це може бути Reduce у поэднанны з редактор презентацій, авторською видавничою системою (наприклад, LaTeX) або редактором документів html.

6. Вивчення нового матеріалу.
   Матеріал подано при виборі системи алгебричних обчислень Reduce, яка:

   • є вільнопоширюваною;
   • є багатоплатформною;
   • не вимагає встановлення,

   причому версія для ОС Windows працює при ОС Linux через Wine. Після видобуття архіву й відкриття добутої теки (назва може відрізнятися і містити дані про версію і час її створення) можна побачити такий її вміст.

   

   Файл reduce.exe — файл програми, запуск якого призводить до відкриття вікна програми Reduce. Для обчислення виразів чи виконання вказівок достатньо набрати відповідний код, синтаксис якого максимально наближено до синтаксисів запису математичних формул і вказівок мови Pascal. Обчислюваний вираз потрібно завершити крапкою з комою «;» і натиснути клавішу Enter — див. приклади нижче.

   

   Файл reduce.doc/index.html містить посилання на довідки (англійською мовою) про призначення і синтаксис операторів, згруповані в алфавітному порядку (INDEX) та за категоріями:

   • Concepts — основні поняття;
   • Variables — змінні;
   • Syntax — синтаксис;
   • Arithmetic Operations — арифметичні операції;
   • Boolean Operators — логічні оператори;
   • General Commands — загальні вказівки;
   • Algebraic Operators — алгебричні оператори;
   • Declarations — оголошення;
   • Input and Output — введення і виведення;
   • Elementary Functions — елементарні функції;
   • General Switches — загальні перемикачі;
   • Matrix Operations — операції з матрицями;
   • Groebner package — пакет Гребнера;
   • High Energy Physics — фізика високих енергій;
   • Numeric Package — числа;
   • Roots Package — (алгебричні) корені;
   • Special Functions — спеціальні функції;
   • Taylor series — ряд Тейлора;
   • Gnuplot package — пакет побудови графіків;
   • Linear Algebra package — лінійна алгебра;
   • Matrix Normal Forms — нормальні форми матриць;
   • Miscellaneous Packages — різне;
   • Outmoded Operations — застарілі операції.

   Назви категорій засвідчують: Reduce — це справжній робочий інструмент дослідника (учня, студента, аспіранта, наукового працівника) у галузі математики, математичної фізики й суміжних дисциплін. Істотна відмінність Reduce від традиційних мов програмування — це спроможність працювати з аналітичними виразами й виконувати аналітичні перетворення у зручній для користувача формі.
   
   Перелік назв операторів, змінних, описів, перемикачів і вказівок системи алгебричних обчислень Reduce, безпосередньо пов'язаних зі шкільним курсом математики, доволі короткий. Для виконання поставленого завдання достатньо використати лише незначну частину з цього переліку та далеко не всі можливості вибраного:

   • solve(рівняння, назва змінної);
     — розв'язування рівняння відносно змінної. Замість рівняння можна записати у фігурних дужках систему рівнянь через кому, замість назви змінної — у фігурних дужках перелік назв змінних через кому, наприклад, таким чином:
     
     solve(x**2+(3-a)*x-3*a=0,x);
     solve({x**2+y**2=25, x=y+1},{x,y}).

     

   • plot(перелік функцій, назва змінної = область зміни аргумента)
     — побудова графіків функцій для певної області зміни аргумента, яку записують таким чином:
     (найменше значення аргумента .. найбільше значення аргумента)
     
     Функції потрібно записати через кому. Вказувати область зміни необов'язково. У цьому випадку буде використано усталені значення, для поданого далі прикладу (-10 .. 10)), а при першому вживанні вказівки — небажано. Наприклад,
     
     plot(x-x**2+x**3, -100*x);

     

     plot(x-100*x**2+1000*x**3, x=(0 .. 0.1));

     

     У нижньому лівому куті вікна gnuplot graph подано координати поточного вказівника миші в системі координат, у якій подано графік (графіки).

   • num(вираз) — чисельник виразу;
     den(вираз) — знаменник виразу. Наприклад,
     
     on rationalize; off allfac,factor;
     a:=(3-3**(1/2))/(21**(1/2)-7**(1/2));
     write(num(a),"/",den(a));

     

   • on rationalize — вмикання режиму вилучення ірраціональностей зі знаменнику (вимога до відповіді у загально освітній школі);

   • off factor — вимикання розкладу на множники при виведенні результатів;

     

   • array назва масиву[кількість елементів]; — опис масиву;

   • coeff( вираз , назва змінної ) — повертає перелік коефіцієнтів виразу як многочлену змінної, вказаної як другий аргумент;

   • first( список ) — повертає 1-ший елемент списку;
   • second( список ) — повертає 2-гий елемент списку;
   • third( список ) — повертає 3-тій елемент списку.
     
     Наприклад,
     
     a:=coeff(11+22*x+33*x**2,x);
     first(a); second(a); third(a);
     

   • clear назва змінної; — звільнення змінної від наданого до цього значення. Після використання цієї вказівки при виведенні виразів, що містять змінну, буде виведено саме назву змінної, а не останнє надане значення.

7. Вироблення алгоритму опрацювання даних відповідно до обраного програмного засобу — запис вказівок, які буде використано у середовищі програмного запису.

8. Опрацювання даних — виконання вказівок у середовищі програмного засобу і запис результатів опрацювання.

9. Подання результатів розв’язування задачі відповідно до аудиторії або презентацією, або текстом, оформленим з допомогою видавничої система LaTeX, або кодом html.

6. Підбиття підсумків уроку
Виставлення оцінок.

7. Домашнє завдання.
Повторити поняття й прийоми, використані при викованні завдань.

Текст упорядкувала Карєва Наталія Юріївна, вчитель інформатики гімназії № 178 Солом'янського району міста Києва, під час виконання випускної роботи на курсах підвищення кваліфікації з 17.03.2014 по 04.04.2014.