Розробка уроку

Тема: бінарний пошук, тернарний пошук, пошук з поверненням мовою мовою C++.

Мета:

Після вивчення матеріалу учень:

Обладнання: комп'ютери зі встановленими ОС та середовищем програмування мовою C++ або стійким сполученням з Інтернетом для використання мережевих сервісів.

Структура уроку

  1. Організаційний момент.
  2. Актуалізація опорних знань.
  3. Вивчення нового матеріалу.
  4. Інструктаж з ТБ.
  5. Вироблення практичних навичок.
  6. Підбиття підсумків уроку.
  7. Домашнє завдання.
Хід уроку

1. Організаційний момент
Привітання з класом, знайомство з класом. Перевірка присутності учнів.

2. Актуалізація опорних знань.
Дати відповіді на запитання:

  1. Яким словом починають оголошення:
    • використаних модулів;
    • типів;
    • сталих;
    • змінних;
    • міток?
  2. Яким символом розмежовують вказівки у коді програми?
  3. Що таке масив? Які властивості має масив? Що таке форма масиву?
  4. Назвіть відомі вам методи упорядкування лінійних масивів.
  5. Які типи простих даних ви знаєте?

3. Інструктаж з ТБ
4. Вивчення нового матеріалу


(Бінарний) пошук заданого елемента
Розглянемо задачу пошуку номера елемента упорядкованої за зростанням послідовності {an}, який (елемент) має значення b. Зазвичай для цього викорис­товують двійковий (бінарний) пошук. Він полягає у послідовному поділі (приблизно) навпіл діапазону номерів, у якому проводять пошук. На початку виконання цього алгоритму:

j — менша межа діапазону номерів, на якому шукають потрібний номер, дорівнює меншій межі діапазону номерів масиву;

k — більша межа діапазону номерів, на якому шукають потрібний номер, дорівнює більшій межі діапазону номерів масиву.

Алгоритм бінарного пошуку для упорядкованого за неспаданням масиву має такий вигляд:

  1. Поки справджується нерівність jk, робити таке:

    • надати значення змінній l = [(j + k)/2] — знайти індекс l, що поділяє досліджуваний діапазон навпіл;

    • якщо al = b, завершити пошук зі знайденим номером l;

    • якщо al < b, надати значення змінній j = (l + 1), тобто вибрати для подальшого пошуку діапазон, розташований правіше від l;

    • якщо al > b, надати значення змінній k = (l – 1), тобто вибрати для подальшого пошуку діапазон, розташований лівіше від l.

  2. Завершити пошук, вважаючи його неуспішним.

Тут квадратні дужки (у першій дії всередині циклу) позначають операцію визначення цілої частини.

У програмі крім уже описаних змінних використано булеву змінну s (англійською search — шукати): s справджується, якщо шуканого номеру немає або пошук ще не завершено.

Тернарний пошук використовують для пошуку:

Алгоритм (тернарного пошуку максимуму за умови, що він досяжний лише в одній точці)

  1. Вибрати довільні точки m1 і m2, що задовольняють нерівності: l < m1 < m2 < r. Наприклад, надати значень:
    m1 = l + (rl)/3;
    m2 = r − (rl)/3.

  2. Порахувати значення функції f (m1) і f (m2).

  3. Якщо f (m1) < f (m2) — шуканий максимум поза проміжком [l, m1) — надати значення:
    l = m1.

  4. Якщо f (m1) > f (m2) — шуканий максимум поза проміжком (m2, r] — надати значення:
    r = m2.

  5. Якщо f (m2) = f (m2) — шуканий максимум поза проміжками [l, m1) і (m2, r] при строгому зростанні й спаданні f до і після точки максимума при зростанні аргумента — надати значення:
    l = m1;
    r = m2.

  6. Якщо rl < ε, вивести значення (l + r)/2, значення f у цій точці і закінчити виконання алгоритму. Інакше перейти до пункту 1.

Тут ε — дійсне число — деяка наперед задана точність пошуку. Див. програму обчислення найбільшого значення функції f (x) = 1 − x2 на проміжку [−3, 2].

Пошук з поверненням. Деякі задачі можна розв'язати, лише перебираючи гіпотези. При цьому рівнів прийняття гіпотез може бути кілька. При переборі відкидають гіпотези у разі несумісності їх з умовою задачі. Інакше кажучи, задачу розв'язують оптимізованим перебором гіпотез. Це еквівалентно руху деревом можливих кроків алгоритму з відрізанням у разі несумісності з умовою відповідних гілок дерева. Рух здійснюють доти, поки не буде отримано шуканого розв'язку (чи всіх шуканих розв'язків) або встановлено, що розв'язків немає. Такий алгоритм називають алгоритмом з поверненням.

Прикладом використання пошуку з поверненням є розв'язання задачі про розташування 8 ферзів на стандартній шахівниці таким чином, щоб жодна фігура не атакувала іншу. Інакше кажучи, щоб жодні дві фігури не були розташовані в одному рядку чи стовпчику.

Задача про 8 ферзів є частковим випадком загальнішої задачі про розташування n ферзів на шахівниці розміром n × n.

Cтруктура розв'язання задачі про розташування 8 ферзів на шахівниці

Характерним для розв'язання задачі є те, що під час пошуку розв'язку поступово:

Це пояснює назву «пошук з поверненням».

Примітка. Розв'язана задача «Хід коня» — частковий випадок пошуку гамільтонового циклу.

4. Інструктаж з ТБ
5. Вироблення практичних навичок


Завдання 1. Змінити код для тернарного пошуку проміжку значень x з [0, 4], при яких вираз |x − 1| + |x − 2| набуває найменших значень.

Вказівка до виконання

  1. Якщо однакові значення функції на кінцях поточного відрізка [l, r] такі самі, що й для попереднього відрізка, то мінімум функції досягається на цьому відрізку. Передбачити галуження для цього випадку.

  2. Для знаходження меж найбільшого проміжку, на якому досягається мінімум функції, використати поділ (неперервного) діапазону значень між відповід­ними межами поточного й початкового відрізків.

Завдання 2. Створити програму пошуку з поверненням для дешифрації запису дії додавання ten + ten + forty = sixty.

Вказівка до виконання

  1. Занумерувати літери у порядку першої появи при зростанні старшинства розряду.

  2. Приймати гіпотези щодо значення змінної-літери у встановленому порядку.

  3. Вести облік використаних цифр.

  4. Можна використати вкладені цикли.

6. Підбиття підсумків уроку
Виставлення оцінок.

7. Домашнє завдання

  1. Вивчити матеріал уроку.
  2. При потребі доробити завдання 1 та 2.
  3. Ознайомитися з умовами та ідеями розв'язання задач відбірково-тренувальних зборів команди міста Києва: 1.1, 4.2, 6.2, 15.2 (до крапки вказано номер завдання, після крапки вказано номер задачі) — див. посилання. Пересвідчитися у тому, що усі ці задачі розв'язано пошуком з поверненням. Звернути особливу увагу на задачу 6.2, в описі якої подано єдиний алгоритм оптимального розв'язання логічних задач. Звичайний пошук з поверненням (оптимізований перебір) без проміжних логічних висновків має істотно більший час виконання програми, ніж запропонований автором задачі.


Текст упорядкував Гезь Іван Федорович, вчитель СЗШ № 31 Дніпровського району міста Києва, під час виконання випускної роботи на курсах підвищення кваліфікації з 26.11.2018 по 30.11.2018.