Розробка уроку

Тема: базові поняття обчислювальної геометрії.

Мета:

Обладнання: ПК з встановленим браузером і середовищем програмування або стійким сполученням з Інтернетом для використання середовищ програмування online, дана інструкція,

Структура уроку

  1. Організаційний момент.
  2. Актуалізація опорних знань.
  3. Вивчення нового матеріалу.
  4. Інструктаж з ТБ.
  5. Вироблення умінь і навичок.
  6. Підведення підсумків уроку.
  7. Домашнє завдання.
Хід уроку

1. Організаційний момент
Привітання з учнями. Перевірка присутності і готовності учнів до уроку. Перевірка виконання домашнього завдання. Оголошення теми й мети уроку.

2. Актуалізація опорних знань
Дати відповіді на питання.

  1. У якому відношенні бісектриса кута 3-кутника поділяє протилежну сторону?
  2. Що таке вектор?
  3. Що таке напрям вектора?
  4. Що таке довжина вектора?
  5. Що таке протилежно спрямовані вектори?
  6. Що таке скалярний добуток двох векторів?
  7. Що таке додатний напрям вимірювання кутів?
  8. Що таке додатно орієнтована трійка векторів?

3. Вивчення нового матеріалу

Примітка. Частину поданих у розділі 3 відомостей доречно перенести у розділ 2, якщо учні засвоїли відповідні знання на уроках математики.

Рівняння прямої на площині
Для довільної прямої на координатній площині існує вектор v(α; β) довжини 1:

| v |2 = | α |2 + | β |2 = 1,

спрямований від початку координат до прямої і перпендикулярний до неї. Вектор єдиний, якщо пряма не проходить через початок координат, і його визначають з точністю до напряму в іншому разі.

Позначимо через δ ≥ 0 відстань від початку координат до даної прямої, через М(x0; y0) — довільну точку координатної площини, через M' — її проекцію на перпендикуляр до прямої, проведений з початку координат. Маємо:

OMv = |OM| cos φ = αx0 + βy0,

де φ — кут між векторами OM і v. Отримана сума — довжина проекції ОМ на промінь ОM', що містить v і дорівнює:
+ ОM', якщо ОM' та v однаково спрямовані;
ОM', якщо ОM' та v протилежно спрямовані (див. рисунок нижче).

Таким чином, відстань від точки М(x0; y0) до прямої дорівнює:

| αx0 + βy0δ |.

Отже, точка (х; у) належить до прямої тоді й лише тоді, коли

αx + βyδ = 0.

Отримане рівняння за вказаних вище умов називають нормальним рівнянням прямої на декартовій площині. Помноживши обидві частини рівняння на дійсне число, відмінне від нуля, отримаємо загальне рівняння прямої на площині:

Ax + By + C = 0.

Якщо С ≠ 0, то нормальне рівняння отримують з попереднього множенням обох частин рівняння на

__________
– sign C / √A2 + B2 ,

якщо С = 0, то множенням на

__________
1 / √A2 + B2 .

Тому відстань від точки М(x0; y0) до прямої, яку задано загальним рівнянням, дорівнює:

__________
| Ax0 + By0 + C | / √A2 + B2 .

Маємо: u (A; B) — вектор, перпендикулярний до прямої, w (В; – А) — вектор, паралельний прямій. Якщо A2 + В2 ≠ 0, нерівності Ах + Ву + C > 0 і Ах + Ву + C < 0 задають на координатній площині півплощини, розділені прямою.

Параметричне рівняння прямої, що проходить через точку (x0; y0) паралельно вектору w (l; m), має такий вигляд:

Канонічне рівняння цієї прямої має такий вигляд:

Примітка. У канонічному рівнянні прямої (на площині чи у просторі) припустимо писати у знаменнику нуль. Це тлумачать як тотожну рівність нулю чисельника, тобто сталість відповідної координати.

Рівняння прямої, що проходить через дані різні точки (x0; y0) і (x1; y1), має такий вигляд:

Якщо АВС ≠ 0, то із загального рівняння прямої на площині можна отримати рівняння прямої у відрізках:

де а — абсциса точки перетину прямої з віссю абсцис, b — ордината точки перетину прямої з віссю ординат.

Інколи пряму координатної площини можна подати як графік функції y = kx + b, де k = tg φ — кутовий коефіцієнт — тангенс кута φ, що вимірюють від додатного напряму осі абсцис до прямої-графіка, b — ордината точки перетину прямої-графіка з віссю ординат.

Теорема 1. Площа паралелограма, сторони якого — вектори b (b1; b2) і c (c1; c2), дорівнює

| b1c2b2c1|.

Доведення. Позначимо через φ — кут між векторами v1 і v2. Тоді шукана площина дорівнює:

Цей результат можна отримати з допомогою теореми додавання для тригонометричних функцій. Нехай φ1, φ2 — кути від додатного напряму осі абсцис до напрямів векторів відповідно v1 і v2. Тоді шукана площа дорівнює:

Теорема 2. Напрям v2 (c1; c2) отримують з напряму v1 (b1; b2) поворотом на кут φ ∈ (0; π) у додатному напрямку вимірювання кутів тоді й лише тоді, коли справджується така нерівність:

b1c2b2c1 > 0.

Доведення. Ліва частина останньої дорівнює 0 лише за умови колінеарності векторів v1 і v2. При сталих b1 і b2 ця нерівність задає півплощину кінців векторів v2 (c1; c2), які виходять з початку координат, і кінці яких лежать з одного боку від прямої, що паралельна вектору v1 і містить початок координат. При b1c2b2c1 ≠ 0 напрям вектора v2 можна отримати з напряму v1 поворотом у додатному напрямку вимірювання кутів на кут у межах від 0 до π (одна півплощина напрямів v2, що неколінеарні v1) або на кут у межах від π до 2π (інша півплощина напрямів v2, що неколінеарні v1). Для завершення доведення розглянемо вектор w (– b2; b1), який отримують з v1 поворотом на π/2 у додатному напрямку вимірювання кутів:

Теорема 3. Нехай (x1; y1), (x2; y2), ... , (xn; yn) — послідовні вершини n-кутника. Тоді площа цього многокутника дорівнює такому виразу:

n
| ( xj yj + 1xj + 1 yj ) | : 2.
j = 1

де xn + 1 = x1, yn + 1 = y1.

Доведення. У випадку опуклого многокутника, що містить початок координат, вираз:

( xj yj + 1xj + 1 yj ) : 2

з точністю до знаку дорівнює площі трикутника з вершинами (0; 0), (xj; yj), (xj + 1; yj +1) (згідно з теоремою 1). Згідно з теоремою 2 усі доданки у формулюванні теореми 3 мають один і той самий знак: вони додатні тоді й лише тоді, коли v (xj + 1; yj +1) отримують з напряму u (xj; yj) поворотом на кут φ ∈ (0; π) у додатному напрямку вимірювання кутів. Отже твердження теореми справджується для опуклого многокутника.

Для завершення доведення на випадок довільного розташування многокутника відносно початку координат, його опуклості чи неопуклості зауважимо таке:

                  

Пояснення до малюнків. При проходженні «сторони» у додатному напрямку вимірювання кутів (відрізок, зафарбований червоним на малюнку ліворуч) відповідний доданок врахує площу трикутника, зафарбованого сірим кольором. Далі рух буде здійснено за межами кута з вершиною у початку координат і сторонами, що містять кінці пройденого відрізка. Після можливого повернення в цей кут можливий рух:

В останньому випадку вираз для площі зменшиться на площу трикутника, зафарбованого блідо-синім кольором, а у межах кута буде враховано лише площу чотирикутника, зафарбованого сірим кольором на малюнку у центрі. Далі рух буде здійснено за межами кута з вершиною у початку координат і сторонами, що містять кінці пройденого відрізка. Після можливого повернення в цей кут можливий рух:

В останньому випадку вираз для площі зросте на площу трикутника, зафарбованого сірим кольором, а у межах кута буде враховано і площу чотирикутника, і площу трикутника, зафарбованих сірим кольором на малюнку праворуч.

Примітка. З доведення теореми 3 випливає, що знак виразу під знаком модуля у формулюванні теореми вказує на те, з якого боку сторін розташовано многокутник при обході по периметру. Для традиційних розташування осей координат і додатного напряму виміроювання кутів (проти руху годинникової стрілки) додатний знак виразу вказує на, що многокутник розташовано ліворуч, від'ємний знак — на, що многокутник розташовано праворуч.

Рівняння площини у просторі
Для довільної площини у просторі існує вектор v (α; β; γ) довжини 1, спрямований від початку координат до площини і перпендикулярний до неї. Цей вектор визначають однозначно для площини, якщо вона не проходить через початок координат, і з точністю до напряму, якщо вона проходить. Нехай δ ≥ 0 — відстань від початку координат до даної площини, М(х, у, z) — довільна точка координатного простору. Тоді проекція OM на v має такий вигляд:

OMv = αx + βy + γz.

Отже, відстань М(х; у; z) до площини дорівнює | αx + βy + γzδ |.

Нормальне рівняння цієї площини має такий вигляд:

αx + βy + γzδ = 0.

Помноживши обидві частини нормального рівняння на довільне дійсне число, відмінне від нуля, отримаємо рівняння загального вигляду:

Ax + By + Cz + D = 0.

де | A | + | B | + | C | ≠ 0, а вектор u (A; B; C) перпендикулярний до площини. Із рівняння загального вигляду можна отримати нормальне рівняння, поділивши обидві частини рівняння:

________________
на  – sign D / √A2 + B2 + C2   при D ≠ 0;
________________
на  – sign 1 / √A2 + B2 + C2   при D = 0.






Відстань від точки М(x0; y0; z0) до площини, що заданої рівнянням загального вигляду, дорівнює:

________________
| Ax0 + By0 + Cz0 + D | / √A2 + B2 + C2 .

Якщо всі коефіцієнти загального рівняння площини відмінні від нуля, то його можна звести до рівняння у відрізках, що має такий вигляд:

Рівняння прямої у просторі
Параметричне рівняння прямої, що проходить через дану точку (x0; y0; z0) і паралельна вектору v (l; m; n), має такий вигляд:

Канонічне рівняння цієї прямої має такий вигляд:

Рівняння прямої, яка проходить через дві різні точки (x0; y0; z0) і (x1; y1; z1), має такий вигляд:

Пряму можна задати як перетин площин за допомогою такої системи рівнянь:

Ця пряма існує, якщо площини {Ajx + Bjy + Cjz + Dj = 0}, j = 1, 2 не паралельні. Ця умова еквівалентна умові непаралельності перпендикулярів до площини v (A1; B1; C1) і w (A2; B2; C2).

Кут між площинами, які задано такими рівняннями: {Ajx + Bjy + Cjz + Dj = 0}, j = 1, 2, дорівнює куту між перпендикулярами до них, а його косинус обчислюють так:

Кут між прямою і площиною, заданими відповідно канонічним рівнянням та рівнянням загального вигляду, доповнює до π/2 між прямою та перпендикуляром до площини, а його синус дорівнює такому відношенню:

Кут між прямими, що паралельні векторам v1(l1; m1; n1) і v2(l2; m2; n2), має такий косинус:

Розглянемо поняття паралельного проектування.

Означення 1. Точка M' — проекція точки М на площину α паралельно прямій a, якщо справджуються обидві умови:

Рівняння для знаходження М(x0 + lt; y0 + mt; z0 + nt) — проекції М0(x0; y0; z0) на площину {Ax + By + Cz + D = 0} паралельно вектору v(l; m; n) — має такий вигляд:

A(x0 + lt) + B(y0 + mt) + C(z0 + nt) + D = 0.

Означення 2. Точка M' — проекція точки М на пряму а паралельно площині α, якщо справджуються обидві умови:

Рівняння для визначення М(x0 + lt; y0 + mt; z0 + nt) — проекції М1(x1; y1; z1) на пряму, задану параметричним рівнянням, паралельно площині, заданій рівнянням у загальному вигляді, — має такий вигляд:

A(x0 + ltx1) + B(y0 + mty1) + C(z0 + ntz1) = 0.

Кабінетна проекція — така паралельна проекція декартового координатного простору на площину, при якій дві координатні осі проектують у взаємно перпендикулярні прямі зі збереженням довжини відрізків вздовж цих осей. Ці проекції утворюють рівні кути по 135° з проекцією третьої осі, при проектуванні якої відстані зменшують удвічі вздовж неї. Такою є, наприклад, проекція координатного простору на координатну площину yz паралельно v ( – 2√2; 1; 1):




Ізометрична проекція — зображення простору на площині, в якому координатні осі декартового простору відображають у прямій, що утворюють кути по 120° одна з одною, зі збереженням довжин відрізків вздовж кожної осі координат. Ізометричну проекцію можна отримати таким відображенням координатного простору на координатну площину:

Таке відображення — проекція на площину {x + y + z = 0} перпендикулярно до неї з подальшим розтягом у (3 ⁄ 2)1/2 разів відносно проекції початку координат.

Площа проекції паралелограма

Означення 3. Для будь-яких дійсних b1, b2, c1, c2 означимо визначник 2-го порядку:

Теорема 4. Площа ортогональної проекції на площину xy паралелограма, сторони якого — вектори b (b1; b2; b3) і c (c1; c2; c3), дорівнює | b1c2b2c1|.

Доведення. Зауважимо, що шукана площа дорівнює площі паралелограма, сторони якого — вектори v1(b1; b2; 0) і v2(c1; c2; 0) — відповідно проекції векторів b і c. А далі потрібно використати твердження теореми 1.

Векторний добуток

Означення 4. aвекторний добуток неколінеарних векторів b i c (його позначають так: b × c ), якщо:

Якщо ж b || c, то b × c = 0.

Для позначення векторного добутку b × c використовують також позначення [b, c].

Зауваження 1. Якщо трійка векторів (a, b, c) має додатну орієнтацію, то трійки (b, c, a) i (c, a, b) також мають додатну орієнтацію.

Означення 5. Для довільних дійсних а1, а2, а3, b1, b2, b3, с1, с2, с3 означимо визначник 3-го порядку:

Цей самий спосіб обчислення використовують і у випадку, коли а1, а2, а3 — вектори одного й того самого векторного простору.

Теорема 5. Якщо:

то:

Доведення. Апліката b × с — cкалярний добуток k ∙ ( b × с ) — дорівнює добутку | b × с | (площі відповідного паралелограма) на cos α. У даному разі α — це кут між b × с, перпендикулярним до площини векторів b і с, і k, перпендикулярним до координатної площини xy. Отже, α — це кут між вказаними площинами або кут, що доповнює його до π, а абсолютна величина аплікати b × с дорівнює площі проекції відповідного паралелограма. Згідно з доведеною теоремою 4, ця площа дорівнює значенню такого виразу: |b1c2b2c1|. Тому достатньо пересвідчитися у правильності вибору знака аплікати у твердженні теореми.

Апліката b × с додатна лише тоді, cos α > 0, тобто коли кінці векторів k та b × с розташовані по один бік від площини xy за умови, що їхні початки належать до цієї координатної площини. Напрям с (c1; c2; c3) отримують з напряму b (b1; b2; b3 ) поворотом на кут у межах від 0 до π навколо напряму b × с, тому при cos α > 0 напрям v2 (c1; c2; 0) отримано з напряму v1 (b1; b2; 0) поворотом на кут у межах від 0 до π навколо k — див. ілюстрацію нижче.

Це можливо тоді й лише тоді, коли справджується нерівність: b1c2b2c1 > 0. Отже, для додатної аплікати b × с її вираз у тверджені теореми записано правильно.

Міркування для від'ємної аплікати відрізняються лише тим, що у такому разі кінці векторів k та b × с розташовано по різні боки площини xy за умови, що їхні початки належать цій площині. У такому разі напрям v2 (c1; c2; 0) отримують з напряму v1 (b1; b2; 0) поворотом на кут у межах від 0 до π навколо k проти додатного напряму вимірювання кутів, отже: b1c2b2c1 < 0 у цьому випадку.

Міркування щодо інших координат b × с аналогічні.

Наслідок 1. Векторний добуток має такі властивості:

Перша властивість кососиметричності і дві наступні лінійності векторнрго добутку — безпосередній наслідок теореми про координатне подання операції векторного множення. З огляду на це четверту властивість достатньо перевірити лише для векторів i, j, k. Це легко зробити, скориставшись такими співвідношеннями:

П'яту властивість називають тотожністю Якобі. Вона випливає з властивостей (1–4) і справджується для всіх так званих алгебр Лі, частковий випадок яких — R3 із заданою операцією векторного множення.

Мішаний добуток

Означення 6. Мішаний добуток векторів a, b, c — це a( b × с ) — скалярний добуток a і b × с.

Теорема 6. Для векторів a (а1; а2; а3), b (b1; b2; b3), c (c1; c2; c3) мішаний добуток a ∙ ( b × с ) дорівнює:

а його абсолютна величина — об'єм паралелепіпеда, ребра якого дорівнюють a, b, c.

Доведення. Для b × с (b2c3c2b3, – b1c3 + c1b3, b1c2b2c1) і a ( а1; а2; а3) маємо:

Абсолютна величина обчисленого мішаного добутку дорівнює добутку площі паралелограма, сторони якого дорівнюють b × с, на довжину проекції a на перпендикуляр до площини, утвореної векторами b і с. Довжина цієї проекції — висота відповідного паралелепіпеда. Абсолютна величина всього мішаного добутку дорівнює об'єму цього паралелепіпеда.

Наслідок 2. Мішаний добуток має такі властивості:

Наслідок 3. Три вектори компланарні, тобто паралельні одній площині, тоді й лише тоді, коли їхній мішаний добуток дорівнює нулю.

Наслідок 4. Якщо точки (x1; y1; z1), (x2; y2; z2), (x3; y3; z3) не лежать на одній прямій, то рівняння площини, яка містить ці точки, має такий вигляд:

Геометричний зміст системи лінійних рівнянь

Означення 7. Лінійне рівняння а1x1 + а2x2 + ... + аnxn = b називають невиродженим, якщо хоча б один з коефіцієнтів при змінних x1, x2, ..., xn відмінний від нуля:

| а1 | + | а2 | + | а3 | + ... + | аn | ≠ 0.

Зауваження 2. Невироджене лінійне рівняння відносно двох змінних задає пряму на площині, а відносно трьох змінних — площину в координатному просторі.

Для системи двох невироджених лінійних рівнянь відносно двох змінних:

можливі такі випадки:

  1. Якщо відповідні прямі збігаються, тобто коефіцієнти рівнянь пропорційні:

    а11 а22а12 а21 = b1 а22а12 b2 = b2 а11а21 b1 = 0,

    то існує безліч розв'язків, заданих одним рівнянням.

  2. Якщо відповідні прямі паралельні, тобто а11а22а12а21 = 0,
    але b1 а22а12 b2 ≠ 0
    або b2 а11а21 b1 ≠ 0, то система не сумісна.

  3. Якщо відповідні прямі не паралельні і не збігаються, тобто координати векторів u (а11; а12) і v (а21; а22), перпендикулярних до прямих, не пропорційні:

    а11 а22а12 а21 ≠ 0,

    то існує єдиний розв'язок:

Зауваження 3. В істинності останніх рівностей легко пересвідчитися, знайшовши різниці обох частин рівнянь, помножених відповідно на а22 і а12 чи на а21 і а11. У курсі вищої алгебри доводиться рівність, що виражає єдиний розв'язок системи лінійних рівнянь через коефіцієнти рівнянь за допомогою визначників — спеціальних функцій коефіцієнтів рівнянь, і вивчаються властивості визначників. Загальноприйнята форма запису аргументів відповідного визначника — запис таблиці коефіцієнтів між двома вертикальними рисками, як у поданих вище правилах обчислення визначників 2-го та 3-го порядків.

Для системи трьох невироджених лінійних рівнянь відносно трьох змінних:

можливі такі випадки:

  1. Якщо коефіцієнти всіх рівнянь пропорційні, тобто всі відповідні площини збігаються, то система має безліч розв'язків, заданим одним лінійним рівнянням.

  2. Якщо коефіцієнти двох рівнянь пропорційні, а третього — ні, а система сумісна, то дві площини збігаються й перетинаються з третьою по прямій.

  3. Якщо коефіцієнти двох рівнянь пропорційні, а система несумісна, то дві площини збігаються й паралельні третій.

  4. Якщо два рівняння несумісні між собою, але кожне з них сумісне з третім, то дві паралельні площини перетинаються третьою.

  5. Якщо кожна пара рівнянь несумісна, то всі площини паралельні.

  6. Якщо кожна пара рівнянь сумісна, а вся система — ні, то пари площин перетинаються по паралельних прямих.

  7. Якщо коефіцієнти рівнянь не пропорційні, але система має безліч розв'язків, то три площини перетинаються по прямійю.

  8. У всіх інших випадках система має єдиний розв'язок:

Щоб пересвідчитися у справдженні останніх рівностей, достатньо обчислити суми правих і лівих частин рівнянь системи, помножених відповідно на:

4. Інструктаж з ТБ
5. Формування умінь і навичок


Завдання (можлива групова робота або робота лише над часниною завдань). Написати коди функцій, що повертають таке:

  1. Коефіцієнти нормального рівняння прямої за відомими коефіцієнтами загального рівняння прямої на площині.

  2. Коефіцієнти загального рівняння прямої за відомими параметрами канонічного рівняння прямої на площині.

  3. Коефіцієнти загального рівняння прямої за відомими координатами двох різних точок прямої.

  4. Координати точок перетину прямої з осями координат за відомими коефіцієнтами загального рівняння прямої на площині.

  5. Відстань від точки до прямої за відомими коефіцієнтами загального рівняння прямої на площині і координатами точки.

  6. Загальні рівняння і довжини сторін, медіан, висот і бісектрис трикутника, його площу за координатами його вершин.

  7. Площу многокутника і його розташуванні відносно сторін при обході по периметру за відомими координатами послідовних вершин.

  8. Коефіцієнти нормального рівняння площини за відомими коефіцієнтами загального рівняння площини.

  9. Координати точок перетину площини з осями координат за відомими коефіцієнтами загального рівняння площини.

  10. Кут між площинами за відомими коефіцієнтами загальних рівнянь площин.

  11. Кут між прямими за відомими параметрами канонічних рівнянь прямих.

  12. Кут між прямою і площиною за відомими коефіцієнтами загального рівняння площини і параметрами канонічного рівняння прямої.

  13. Координати проекції точки на площину паралельно прямій за відомими координатами точки, коефіцієнтами загального рівняння площини і параметрами канонічного рівняння прямої.

  14. Координати проекції точки на пряму паралельно площині за відомими координатами точки, коефіцієнтами загального рівняння площини і параметрами канонічного рівняння прямої.

  15. Кображення проекції куба за відомими координатами вершин і коефіцієнтами лінійного відображення простору на площину.

  16. Координати векторного добутку за відомими координатами співмножників.

  17. Координати мішаного добутку за відомими координатами співмножників.

  18. Розв'язок системи 2 лінійних рівнянь відносно 2 змінних за відомими коефіцієнтами рівнянь і вільними членами.

  19. Розв'язок системи 3 лінійних рівнянь відносно 3 змінних за відомими коефіцієнтами рівнянь і вільними членами.

  20. Геометричний зміст системи 3 лінійних рівнянь відносно 3 змінних за відомими коефіцієнтами рівнянь і вільними членами.

  21. Відстань між двома прямими за відомими параметрами канонічних рівнянь прямих (мінімізувати квадрат відстані між точками на прямих, координати яких задано параметрично).

  22. Загальне рівняння площини трикутника у просторі, параметри канонічних рівнянь прямих, що містять ребра, висоти, медіани й бісектриси трикутника, довжини сторін, медіан, висот і бісектрис трикутника, його площу за координатами його вершин.

6. Підбиття підсумків уроку

Продовжити речення.

  1. Протягом уроку пригадав, повтрив …
  2. Протягом уроку зрозумів, дізнався…
  3. Найбільше сподобалось…

Виставлення оцінок.

7. Домашнє завдання

  1. Вивчити навчальний матеріал уроку.
  2. При потребі доробити завдання.
  3. Вивести і програмно втілити формули конічного (центрального) проектування на координатну площину yz з центром проектування (a; 0; 0).

  4. Побудувати зображення сторін куба з урахіванням законів перспективи.


Текст упорядкувала Солодуха Світлана Ярославівна, вчитель школи І–ІІІ ступенів № 289 Дарницького району міста Києва, під час виконання випускної роботи на курсах підвищення кваліфікації з 26.11.2018 по 30.11.2018.