Побудова перерізів № 37

Задача № 31. Для даної піраміди SABCDE з вершиною S побудувати переріз її площиною (KLM) при даних точках:

K, L — внутрішніх точках трикутників AES, DES відповідно;
M — внутрішній точці відрізка SO, де O — внутрішня точка ABCDE — основи піраміди.

Побудова. Задачу розв’яжемо, використовуючи таке:

точка перетину прямої та її проекцію на цю площину є точкою перетину цієї прямої та її проєкції на дану площину;
метод слідів — полягає у використанні прямої перетину площини перерізу з площиною основи піраміди.

Знайдемо точку K₁ — проекцію точки К на площину грані ABCDE з центром проектувавання S як точку перетину прямої (KS) і ребра [AD]. Запишемо це таким чином:

K₁ ∈ (KS) ∩ (ABCDE) = (KS) ∩ [AE].

Дотримуючись цієї форми запису,
знайдемо:
L₁ ∈ (LS) ∩ (ABCDE) = (LS) ∩ [DE];

X ∈ (LM) ∩ (ABCDE) = (LM) ∩ (L₁O);

Y ∈ (KM) ∩ (ABCDE) = (KM) ∩ (K₁O);

(XY) = (LMK) ∩ (ABCDE) — слід площини
перерізу у площині основи піраміди
N ∈ (AB) ∩ (KML) = (AB) ∩ (XY);

E₁ ∈ (XY) ∩ (SAE) = (XY) ∩ [AE];

E₂ ∈ (XY) ∩ (SDE) = (XY) ∩ [DE];

D₁ ∈ (E₂L) ∩ (SCD) = (E₂L) ∩ [SD];

A₁ ∈ (E₁K) ∩ (SAB) = (E₁K) ∩ [SA];

F ∈ (OY) ∩ (SCD) = (OY) ∩ [CD];

F₁ ∈ (MY) ∩ (SCD) = (MY) ∩ [SF];

C₁ ∈ (D₁F₁) ∩ (SCB) = (D₁F₁) ∩ [SC];

B₁ ∈ (NA₁) ∩ (SBC) = (NA₁) ∩ [SB].

Многокутник A₁B₁C₁D₁E₂E₁ —
шуканий переріз.

Доведення: згідно з побудовою вершини 6-кутника A₁B₁C₁D₁E₂E₁ належать до площини (KLM), тому цей многокутник є шуканим перерізом 5-кутної піраміди SABCDE.

Дослідження. Побудову здійснено для даного розташування точок. Переріз завжди існує і єдиний. У загальному випадку у перерізі можна отримати 3-, 4-, 5- і 6-кутник.

Якщо (KM) || (K₁O) і (LM) || (L₁O), то (KLM) || (ABC). У цьому випадку кожне ребро многокутника перерізу паралельне ребру основи, з яким воно розташоване в одній бічній грані піраміди. Починати побудову потрібно з граней SAE і SDE.

Якщо (KM) || (K₁O) і (LM) || (L₁O), знайдемо Y ∈ (KL) ∩ (ABCDE) = (KL) ∩ (K₁L₁) і діємо далі згідно з описаним алгоритмом.

Якщо (KM) || (K₁O) і (LM) || (L₁O), знайдемо X ∈ (KL) ∩ (ABCDE) = (KL) ∩ (K₁L₁) і діємо далі згідно з описаним алгоритмом.