Задача № 31. Для даної піраміди SABCDE з вершиною S побудувати переріз її площиною (KLM) при даних точках:

Побудова. Задачу розв’яжемо, використовуючи таке:

Знайдемо точку K1 — проекцію точки К на площину грані ABCDE з центром проектувавання S як точку перетину прямої (KS) і ребра [AD]. Запишемо це таким чином:

K1 ∈ (KS) ∩ (ABCDE) = (KS) ∩ [AE].

Дотримуючись цієї форми запису,
знайдемо:
L1 ∈ (LS) ∩ (ABCDE) = (LS) ∩ [DE];
X ∈ (LM) ∩ (ABCDE) = (LM) ∩ (L1O);
Y ∈ (KM) ∩ (ABCDE) = (KM) ∩ (K1O);
(XY) = (LMK) ∩ (ABCDE) — слід площини
перерізу у площині основи піраміди
N ∈ (AB) ∩ (KML) = (AB) ∩ (XY);
E1 ∈ (XY) ∩ (SAE) = (XY) ∩ [AE];
E2 ∈ (XY) ∩ (SDE) = (XY) ∩ [DE];
D1 ∈ (E2L) ∩ (SCD) = E2E2L) ∩ [SD];
A1 ∈ (E1K) ∩ (SAB) = (E1K) ∩ [SA];
F ∈ (OY) ∩ (SCD) = (OY) ∩ [CD];
F1 ∈ (MY) ∩ (SCD) = (MY) ∩ [SF];
C1 ∈ (D1F1) ∩ (SCB) = (D1F1) ∩ [SC];
B1 ∈ (NA1) ∩ (SBC) = (NA1) ∩ [SB].
Многокутник A1B1C1D1E2E1
шуканий переріз.

Доведення: згідно з побудовою вершини 6-кутника A1B1C1D1E2E1 належать до площини (KLM), тому цей многокутник є шуканим перерізом 5-кутної піраміди SABCDE.

Дослідження. Побудову здійснено для даного розташування точок. Переріз завжди існує і єдиний. У загальному випадку у перерізі можна отримати 3-, 4-, 5- і 6-кутник.

Якщо (KM) || (K1O) і (LM) || (L1O), то (KLM) || (ABC). У цьому випадку кожне ребро многокутника перерізу паралельне ребру основи, з яким воно розташоване в одній бічній грані піраміди. Починати побудову потрібно з граней SAE і SDE.

Якщо (KM) || (K1O) і (LM) || (L1O), знайдемо Y ∈ (KL) ∩ (ABCDE) = (KL) ∩ (K1L1) і діємо далі згідно з описаним алгоритмом.

Якщо (KM) || (K1O) і (LM) || (L1O), знайдемо X ∈ (KL) ∩ (ABCDE) = (KL) ∩ (K1L1) і діємо далі згідно з описаним алгоритмом.