Контакти:


Рудик Олександр Борисович,
мобільний телефон: 097 3366893,
e-mail: rudykob@gmail.com

Робоче місце: кабінет 41 на 4 поверсі приміщення СЗШ № 81
по проспекту Павла Тичини 22А (Березняки).

• Набуття процедурної компетентності при розв'язуванні логічних задач.
• Набуття компетентності щодо опанування теорією при вивченні аксіом геометрії та їхніх безпосередніх наслідків.
• Набуття процедурної компетентності в опануванні алгоритмами у процесі розв’язання задач на побудову.
• Початки мови розмітки тексту з математичними формулами LaTeX.
• Логічно-послідовний і сучасний виклад шкільного курсу математики.

При вивченні модуля «Набуття процедурної компетентності при розв'язуванні логічних задач» потрібно ознайомитися з такими матеріалами:

1. Стаття «Загальний підхід до формування переліку компетенцій щодо опанування природничо-математичними дисциплінами» // Математика у сучасній школі, 2012, № 1, с. 29–32 — приділити увагу компетенціям щодо мовлення, роботи з символьними записами, унаочненням.

2. Умови задач логічного характеру — ознайомитися щонайменше з одним демонст­раційним розв'язанням для кожної з таких основних ідей розв'язання: повний перебір, оптимізація перебору, прямокутні табниці, непрямокутні таблиці (система прямокутних таблиць), використання відношення подільності, використання схем розташування, графи у задачах про спортивні турніри та двома задачами на дешифрацію запису дії додавання.

3. Розв'язування задач з логічним навантаженням поділяють на такі етапи:

   1. Усвідомлення і тлумачення окремих висловлювань умови — потрібно правильно розтлумачити поняття, деталізувати запитання, знайти у тексті задачі відомості та дані, які задані в явному чи неявному вигляді. Інколи потрібно скористатися явними або неявними домовленостями: перелік персонажів у простих реченнях умови означає, що всі вони різні, кожний персонаж має одне ім'я, один фах, одне помешкання тощо.

   2. Унаочнення і структурування даних — потрібно багатослівний словесний опис подати або таблицею (однією чи кількома), або схемою розташування, або схемою сполучення, вбо рівняннями чи нерівностями, або іншим способом. Причому спосіб унаочнення має бути зручним і для подання умови, і для процесу розв'язання. Останнє означає, що таке унаочнення має допомагати вибрати наступний крок розв'вязання.

   3. Отримати відповідь, використавши єдиний спосіб розв'язання логічних задач.

   Примітка. Розв'язання більшості задач (з наявної навчальної літератури) не вимагає перебору припущень щодо невизначених значень властивостей об'єктів (див. пункти 4, 5, 6 поданого далі алгоритму). У цьому випадку виконання алгоритму зводиться лише до виконання його перших трьох пунктів. Саме такими й будуть задачі, які буде розглянуто на уроці та задано як домашнє завдання.
   
   Єдиний спосіб розв'язання логічних задач
   з початковим рівнем прийняття припущень (гіпотез) 0 має такий вигляд:

   1. Зробити всі можливі висновки з умови і вже зроблених висновків, зазначаючи, що ці висновки отримано, а відповідні частини вже використано на початковому нульовому рівні.

   2. Якщо отримано відповідь, то припинити виконання алгоритму після запису відповіді.

   3. Якщо отримано суперечність, то припинити виконання алгоритму.

   4. Збільшити рівень прийняття припущень на 1.

   5. Перебрати послідовно всі можливі припущення про невизначене значення властивості одного об'єкта з умови (ім'я, фах, вік, адреса помешкання тощо).

   6. Для прийнятого припущення зробити всі можливі висновки з умови, прийнятого припущення і вже зроблених висновків, зазначаючи, що ці висновки отримано, а відповідні умови використано на даному рівні прийняття припущень. В результаті потрапити в один з таких трьох станів:

      • отримано один з варіантів відповіді. Тоді записати цей варіант відповіді, відмінити припущення найвищого рівня і всі його наслідки, після чого прийняти наступне припущення на цьому рівні й перейти до виконання пункту 6. Якщо всі припущення на даному рівні розглянуто, то зменшити рівень прийняття припущень на 1. Якщо таким чином отримано рівень 0, то припинити перебір припущень, інакше перейти на виконання пункту 5;

      • отримано суперечність. Тоді відмінити припущення найвищого рівня і всі його наслідки, після чого прийняти наступне припущення на цьому рівні й перейти до виконання пункту 6. Якщо всі припущенння на даному рівні розглянуто, то зменшити рівень прийняття припущень на 1. Якщо таким чином отримано рівень 0, то припинити перебір припущень, інакше перейти на виконання пункту 5;

      • не отримано ні відповіді, ні суперечності. Тоді збільшити рівень прийняття припущень на 1 і перейти до виконання пункту 5.

Відсутність жодного варіанту відповіді перед припиненням алгоритму означає: умова несумісна, тобто розв'язків немає.

Далі потрібно виконати cамостійну роботу: у файлі log-Прізвище.txt вказати хоча б для двох розглянутих задач, скільки є рівнів прийняття гіпотези і скільки гіпотез є на кожному рівні для наявних демонстраційних розв'язань при аналізі істина/хибність кожної гіпотези незалежно одна від одної. Для цього потрібно розглянути подане розв'язання через призму поданого вище алгоритму. Без цього отримати правильне розв'язання неможливо. Дані для задач мають відрізнятися. Файл потрібно надіслати файл на адресу rudykob@gmail.com.

Щоб виконати cамостійну роботу, потрібно переглянути демонстраційне розв'язання — презентацію MS PowerPoint, до якої перейти за гіперпосиланням, прив'язаним до останнього знаку (пунктуації) в умові завдання. Кількість об'єктів (персонажів), щодо властивостей яких роблять припущення, — це кількість рівнів прийняття гіпотез, а кількість припущень щоло одного об'єкта (персонажа) — це і є кількість гіпотез на відповідному рівні. Якщо припущень немає взагалі, то кількість рівнів прийняття гіпотез дорівнює 0. Відповідь повинна мати один з таких двох виглядів:

• або «0 рівнів прийняття гіпотез»;
• або «на рівні 1 ... гіпотез, на рівні 2 — до ... гіпотез» і т.д.

При вивченні модуля «Набуття компетентності щодо опанування теорією при вивченні аксіом геометрії та їхніх безпосередніх наслідків» потрібно ознайомитися з такими матеріалами:

1. Стаття «Загальний підхід до формування переліку компетенцій щодо опанування природничо-математичними дисциплінами» // Математика у сучасній школі, 2012, № 1, с. 29–32 — приділити увагу компетенціям щодо опанування теорією.

2. Недоліки підручників, виявлені при рецензуванні навчально-методичного комплекту з геометрії для 7–11 класів загальноосвітніх навчальних закладів — приділити увагу порушенням щодо логіки подання навчального матеріалу і використанню неозначених або некоректно означених понять у наявних підручниках.

3. Стаття «Деякі базові поняття геометрії та аксіоми геометрії» — приділити увагу першим трьом висловлюванням, що вимагають доведення.

і виконати cамостійну роботу: у файлі geo-Прізвище.txt:

• або викласти свої міркування щодо того, які переваги має одна система аксіом над іншою. Достатньо вказати перелік усіх аксіом та конкретну задачу, що означає сформулювати її умову та викласти доведення на основі системи аксіом, відмінної від гільбертової. Доведення на основі аксіом Гільберта можна не подавати, але воно за будь-яких обставин має бути істотно громіздкішим (застереження автора курсу: це завдання непосильне для більшості вчителів);

• або подати приклад висловлювання щодо геометричних фігур, очевидного для пересічного учня, яке насправді вимагає доведення і якого немає ні у підручниках, ні серед перелічених у статті «Деякі базові поняття геометрії та аксіоми геометрії» (повідомлення автора курсу: це завдання непосильне для більшості вчителів).

Файл потрібно надіслати на адресу rudykob@gmail.com.

При вивченні модуля «Набуття процедурної компетентності в опануванні алгоритмами у процесі розв’язання задач на побудову» потрібно ознайомитися з такими матеріалами:

• перелік базових операцій:

  • побудувати пряму, що прохидить через дані дві точки;
  
  
  • побудувати коло за відомими центром і радіусом;
  
  
  • для двох даних прямих:
    • або встановити, що вони збігаються;
    • або встановити, що вони не перетинаються (паралельні);
    • або знайти єдину їхню спільну точку;
  
  
  • для двох даних кіл:
    • або встановити, що вони збігаються;
    • або встановити, що вони не перетинаються;
    • або встановити, що вони дотикаються, і знайти точку їхнього дотику;
    • або знайти дві точки їхнього перетину;
  
  
  • для даних прямої і кола:
    • або встановити, що вони не перетинаються;
    • або встановити, що вони дотикаються, і знайти точку їхнього дотику;
    • або знайти дві точки їхнього перетину;

• перелік етапів розв'язання:

  • аналіз (умови) — встановлення (усіх можливих) зв'язків між тим, що дано, і тим, що потрібно побудувати. Інколи для побудови математичної моделі достатньо подати рисунок з указанням рівних елементів, перпендикулярних і паралельних прямих;

  • побудова — словесний опис (алгоритм) процесу побудови, проілюстрований одним або кількома рисунками з величинами чи співвідношеннями між ними, заданими в умові завдання. Зазвичай, учень повинен сам обрати довжини відрізків і величини кутів, щоб отримати прийнятну за розмірами ілюстрацію, без порушення типовості — максимальності розмірності простору значень параметрів. Побудова є очевидним наслідком якісно проведеного аналізу;

  • доведення того, що побудована фігура є шуканою. Традиційно цей крок не подають у розв'язанні, якщо таке доведення є безпосереднім наслідком аналізу й алгоритму побудови;

  • доcлідження кількості розв'язків, умов можливості побудови, нетипових випадків значень даних, при яких алгоритм потрібно істотно змінити (з указанням цих змін). Це найскладнійший етап розв'язання.

• перелік базових задач, у термінах яких описують розв'язання задач на побудову за допомогою циркуля й лінійки;

• перелік типових задач на побудову за допомогою циркуля й лінійки;

• традиційні позначення й поняття паралельної та центральної (конічної) проекції:

  • (AB) — пряма, що проходить черед різні точки A і В;

  • [AB) — промінь на прямій (AВ) з початком A, що містить В;

  • [AB] — відрізок з кінцями A і В;

  • (ABC) — площина, що проходить точки A, B, C, що не належать до однієї прямої.

  Означення 1. Нехай у (тривимірному) просторі задано непаралельні площину β і пряму l. Кажуть, що точка B є проекцією точки A при проектуванні на площину β паралельно прямій l, якщо В ∈ β і (AB) || l.
  
  Інакше кажучи, щоб знайти паралельну проекцію точки А, потрібно провести через неї пряму, паралельну l, до перетину з площиною проектування β у точці B.
  
  Означення 2. Нехай у (тривимірному) просторі задано непаралельні площину β і пряму l. Кажуть, що точка B є проекцією точки A при проектуванні на пряму l паралельно площині β, якщо В ∈ l і (AB) || β.
  
  Інакше кажучи, щоб знайти паралельну проекцію точки А, потрібно провести через неї площину, паралельну β і знайти точку перетину її з прямою l.
  
  Попередні два означення описують так зване паралельне проектування. Креслярська справа передбачає використання паралельного проектування на площину з урахуванням певних стандартів, зафіксованих нормативними актами і програмно реалізованими у автоматизованих системах програмування.
  
  Означення 3. Проекція фігури — це множина проекцій точок фігури.
  
  Деякі властивості паралельного проектування:

  • проекція прямої — пряма або точка;

  • проекції паралельних прямих, які не паралельні прямій, вздовж якої проектують, або збігаються, або паралельні;

  • при проектуванні прямої у пряму зберігаються відношення довжин відрізків.

  Означення 4. Нехай у (тривимірному) просторі задано площину β і точку О поза нею. Кажуть, що точка B є центральною (конічною) проекцією точки A на площину β з центром проектування О, якщо В ∈ β і точки A, B, O розташовані на одній прямій.
  
  Інакше кажучи, щоб знайти центральну (конічну) проекцію точки A, потрібно провести через неї та центр проектування O пряму до перетину з площиною проектування β у точці B.
  
  Деякі властивості центрального (конічного) проектування прямих, які можна довести на основі шкільного курсу стереометрії:

  • центральна (конічна) проекція прямої — пряма або точка;

  • центральні (конічні) проекції прямих, які паралельні площині проектування, або збігаються, або паралельні;

  • при центральному (конічному) проектуванні прямої, які паралельна площині проектування, зберігаються відношення довжин відрізків;

  • прямі, що є центральними (конічними) проекціями паралельних прямих однієї площини, які непаралельні площині проектування, перетинаються в одній точці, яку називають точкою сходження;

  • точки сходження прямих, що лежать у одній площині γ, розташовані на прямій перетину площини проектування і площини, що проходить через центр проектування паралельно γ. Якщо площина γ горизонтальна щодо поверхні Землі, то відповідну пряму перетину площин, що містить згадані точки сходження, називають лінією горизонту.

  Перспектива (латинською — бачити наскрізь) — це система зображення простору та предметів на одній площині для створення уявної глибини та об’єму.
  
  Перспектива передбачає використання конічної проекції з урахуванням того, яка частина поверхні зображуваного просторового тіла (предмета) видима, а які — ні. Перелічені вище властивості конічного проектування прямих слугують для допоміжних побудов напрямних ліній, що використовують при побудові зображень;

• правило: точка перетину прямої і площини є точкою перетину цієї прямої з її проекцією на цю площину;

• тлумачення обов'язкових складових запису задач на побудову перерізу многогранників, що містить дані точки, на прикладі побудови перерізу піраміди площиною, що містить дані внутрішні точки трьох різних граней;

• умови завдань на побудову перерізу многогранника, подані рисунком або текстом.

Примітка: ознайомлення з умовами задач передбачає ознайом­лення з демонстра­ційними розв'язан­нями кількох з них. Наприклад, поданими у лекції Олександра Рудика від 21 січня 2018 року на курсах підвищення кваліфікації вчителів математики.

При вивченні модуля «Початки мови розмітки тексту з математичними формулами LaTeX» потрібно ознайомитися з такими публікаціями:

• Олександр Рудик. Встановлення і перші кроки використання LaTeX // Комп'ютер у школі та сім'ї, 2012, № 1, с. 47-51, № 4, с. 43-47.

• Олександр Рудик. Векторна графіка в LaTeX заcобами TikZ // Комп'ютер у школі та сім'ї — 2012. — № 7. — С. 43–46, № 8. — С. 35–38.

і виконати cамостійну роботу: у файлі Прізвище.tex записати текст контрольної роботи на 5–6 завдань (тема довільна) зі складними (не в один рядок) математичними формулами. Файл потрібно надіслати на адресу rudykob@gmail.com.

Цей файл можна створити або за допомогою встановленого програмного забезпечення (це той випадок, коли з ОС Linux істотно менше мороки), або з використанням служб online LaTeX (застосувати останні два слова як ключові для пошукових систем).

При вивченні модуля «Логічно-послідовний і сучасний виклад шкільного курсу математики» потрібно ознайомитися з такими матеріалами:

• Олександр Рудик. Загальний підхід до формування переліку компетенцій щодо опанування природничо-математичними дисциплінами // Математика у сучасній школі, 2012, № 1, с. 29–32.

• Олександр Рудик. Першочергове завдання загальної освіти України.

• Олександр Рудик. Заява на адресу Міністра освіти і науки щодо законопроекту «Про освіту», опублікованого сайті mon.gov.ua для обговорення, вхідний № Р–5562 від 30.10.2015.

• Олександр Рудик. Зауваження щодо проекту концепції нової української школи.

• Проекти навчально-тематичного плану і програми вивчення математики у 5–12 класах.

• Зміст, передмова, предметний покажчик і перелік позначень посібника «Початки алгебри, аналізу, аналітичної геометрії і теорії ймовірностей» (Тернопіль: Навчальна книга — Богдан, 2005, 416 с.).

• Виступ Олександра Рудика на тематичній дискусії «Логічно-послідовний і сучасний виклад шкільного курсу математики» від 20 березня 2018 року на курсах підвищення кваліфікації вчителів математики — переглянути у разі дистанційного опрацювання матеріалів модулю.