Розробка уроку — практичної роботи

Тема: елементи регресійно-кореляційного аналізу.

Мета: сформувати уявлення про статистичні функції програми LibreOffice Calc. Сформувати навички застосування стандартних функцій для розв'язку прикладних задач. Розвинути пізнавальний інтерес, навички аналізу й узагальнення.

Учень повинен

мати уявлення про:

уміти:

Обладнання: ПК з встановленою ОС та LibreOffice.

Структура уроку
  1. Організаційний момент.
  2. Актуалізація опорних знань.
  3. Вивчення нового матеріалу.
  4. Інструктаж з ТБ.
  5. Закріплення вивченого матеріалу.
  6. Підбиття підсумків уроку.
  7. Домашнє завдання.

Хід уроку

1. Організаційний момент
Вітання з класом. Перевірка присутності і готовності учнів до уроку. Перевірка виконання домашнього завдання.

2. Актуалізація опорних знань

Дати відповіді на запитання.

  1. Що вивчає статистика?
  2. Що таке ряд розподілу?
  3. З чого складається ряд розподілу?
  4. Що таке варіанти ряду розподілу?
  5. Що таке частоти ряду розподілу?

3. Вивчення нового матеріалу

Мотивація вивчення нового матеріалу
Одна з найбільш розповсюджених задач статистичного дослідження стосується вивчення зв’язків між вибірками. Такий зв’язок між вибірками має не функціональний, а ймовірнісний (ще кажуть стохастичний) характер. Інакше кажучи, у цьому випадку немає однозначної залежності між величинами.

Примітка. Подані далі формули запам'ятовувати не потрібно. Їх подано для повноти викладу і пояснення алгоритму обчислень. Вчитель може призначити текст, виділений синім, лише для самостійного ознайомлення за бажанням після виконання роботи.

При вивченні стохастичних залежностей розрізняють кореляцію и регресію.

Kореляція — залежність випадкових величин.

При цьому, зміна однієї (або кількох) таких величин призводить до систематичної зміни іншої (або інших) величин. Математичною мірою кореляції двох випадкових величин слугує коефіцієнт кореляції.

Коефіцієнт кореляції — параметр, який характеризує ступінь лінійного взаємо­зв’язку між двома вибірками (емпіричний) або між двома випадковими величинами (теоретичний).

Для вибірки {xj }j = 1, 2, …, n — реалізації довільної випадкової величини x — позначимо усереднення за вибіркою (емпіричне математичне сподівання):

n
Mex = n–1∑xj.
j = 1

rxy — емпіричний коефіцієнт кореляції — будемо шукати як таке відношення:

Me (x – Mex)(y – Me y)
————————————————— ·
(Me (x – Mex)2)1/2 · (Me (y – Me y)2)1/2

Після множення чисельника і знаменника останнього дробу на довжину вибірки n, отримаємо:

rxy = ∑ (xj – Mex)(yj – Me y)
rxy = ————————————————— ·
rxy = (∑ (xj – Mex)2)1/2 · (∑ (yj – Me y)2)1/2

Тут усі додавання, позначені знаком ∑, здійснюють за j = 1, 2, …, n.

У загальному випадку | rxy | ≤ 1.

При rxy = ±1 існує лінійна залежність між величинами x та y. Інакше кажучи, існують сталі a й b, при яких yj = axj + b для всіх елементів вибірки (за наявності різних величин x). Зауважимо, що у цьому випадку знаки rxy і a збігаються.

Якщо усереднення за вибіркою замінити на математичне сподівання, то матимемо означення теоретичного коефіцієнта кореляції і справдження відповідного висловлювання щодо лінійної залежності для екстремальних величин ±1. Лише замість слів: «для всіх елементів вибірки» потрібно казати: «з імовірністю 1».

Якщо коефіцієнт кореляції дорівнює нулю, тоді говорять про відсутність статистичного зв'язку. Для незалежних випадкових величин такий зв'язок відсутній завжди. Обернене твердження (незалежність розподілу випливає з рівності нулю коефіцієнта кореляції) можна довести лише в окремих випадках. Наприклад, для нормального розподілу, який найчастіше використовують для опису випадкових величин.

Регресія — форма зв'язку між випадковими величинами.

Інакше кажучи, закон зміни однієї випадкової величини залежно від величини іншої. Розрізняють прямолінійну, параболічну та інші регресії.

Регресійний аналіз — розділ математичної статистики, присвячений методам аналізу залежності однієї величини від іншої.

Апроксимація (латинською approximare — наближати) — наближене подання одних (математичних) об'єктів іншими, зазвичай простішими.

Наприклад, кривих ліній — ламаними, ірраціональних чисел — раціональними, неперервних функцій — многочленами. Графік залежності будь-яких експери­ментальних даних можна наблизити лінією: прямою лінією, параболою, експонентою тощо.

Лінійне рівняння регресії має такий вигляд: y = ax + b + ε. Тут
a, b — параметри моделі;
ε — випадкова величина з нульовим середнім.

Традиційно параметри моделі шукають, керуючись методом найменших квадратів. Інакше кажучи, намагаючись зменшити якість наближення — емпіричне сподівання (середнє арифметичне за вибіркою) ε2:

n
Me(y – ax – b)2  =  n–1∑(yj – axj – b)2.
j = 1

Останній вираз — квадратичний відносно a, b. У точці мінімуму (часткові) похідні цього виразу за a, b дорівнюють 0. Точку мінімуму можна знайти, розв'язавши відповідну систему двох лінійних рівнянь відносно двох змінних a, b. Матимемо таке:

a = (Me xy – Me x · Me y) / (Me x2 – (Me x)2);

b = (Me x2 · Me y – Me x · Me xy) / (Me x2 – (Me x)2),
або детальніше:
nnn
a = (n–1∑ xj yj  –  n–1∑xj  · n–1∑yk) : D;
j = 1j = 1k = 1
nnnn
b = (n–1∑ xj2  · n–1∑ yk  –  n–1∑xj  · n–1∑xk yk) : D.
j = 1k = 1j = 1k = 1
Тут
nn
D = n–1∑ xj2  –  (n–1∑xj)2.
j = 1j = 1

Навіть мінімальних знань про LibreOffice Calc (чи інший програмний засіб опрацювання електронних таблиць) достатньо, щоб обчислити коефіцієнт кореляції та коефіцієнти лінійної регресії. Якщо не застосувати спеціальні функції, то потрібно відобразити в електронній таблиці повністю всі обчислення. Крім великого обсягу роботи такий спосіб призводить до зростання ймовірності помилки. Тому бажано спочатку уважно ознайомитися з переліком функцій, обчислення яких передбачено у LibreOffice Calc. Перш за все у категорії Статистичні. Розглянемо в алфавітному порядку перелік деяких з функції цієї категорії, що мають очевидний зв'язок з обчисленням величин (пояснення LibreOffice Calc, у дужках — описано роль у обчисленнях):

  • AVERAGE повертає середнє арифметичне вибірки;

  • CORREL обчислює коефіцієнт кореляції для двох областей даних;

  • COVAR повертає коваріацію вибірки двох випадкових величин (чисельник у формулі для коефіці­єнта кореляції);

  • DEVSQ повертає суму квадратів відхилення вибірки від середнього арифметичного (вираз у знаменнику формули для коефіцієнта кореляції);

  • FORECAST повертає величину лінійної регресії;

  • INTERCEPT відраховує відрізок, що відсікається лінією лінійної регресії (b);

  • RSQ повертає квадрат коефіцієнту кореляції продукту Пірсона (оцінку якості наближення — дійсне число з [0; 1], «чим більше, тим краще», 1 у випадку лінійної залежності);

  • SLOPE повертає нахил прямої лінії регресії (a).

Зеленим кольором виділено ті функції, використання яких — найкоротший і найлегший (для пересічного користувача) спосіб провести кореляційний і регресійний аналіз, навіть не маючи уявлення про математичні основи такого аналізу чи тривалого досвіду роботи з електронними таблицями.

В ході ознайомлення з поданим далі прикладом 1 кореляційного та регресійного аналізу кожний учень повинен виконати всі практичні кроки. Мета: бути готовим за таким самим сценарієм, але з іншими вхідними даними, швидко і самостійно провести аналогічне дослідження.

Приклад 1. Відома вартість одного квадратного метра 1-кімнатних квартир і їх площа. Спрогнозувати зміну вартості одного квадратного метра 1-кімнатних квартир в залежності від площі.

ВартістьПлоща м.кв.
85025
90028
87031
100034
94037
110040
120043
115046
130049
120052
135055
145058

Використовуючи поданий ряд розподілу, визначити коефіцієнт кореляції rxy, коефіцієнти лінійної регресії a і b та оцінку якості наближення r 2.

Вказівки до розв'язання (засобами LibreOffice Calc)

  1. Створити нову книгу. Перший її аркуш назвати Числа. Поки не сказано інше, всі дії здійснювати на цьому аркуші.

  2. У комірки A1, B1, C1, D1, E1, F1 ввести відповідно тексти: y, x rxy, a, b, r2.

  3. Ввести дані з умови в область A2:A13 та B2:B13.

  4. Вибрати комірку С2 (для підрахунку коефіцієнта кореляції).

  5. Використати вказівку меню Вставка / Функція або кнопку Помічник з функцій, щоб викликати вікно діалогу Function Wizard.

  6. У цьому вікні діалогу у категорії Статистичні вибрати функцію CORREL, що обчислює коефіцієнт кореляції, і натиснути кнопку Next.

  7. У вікні діалогу Function Wizard вказати діапазони комірок змінних — аргументів функції: A2:A13 і B2:B13 і натиснути кнопку Гаразд .

  8. Аналогічно у комірках D2, E2, F2 підрахувати коефіцієнти лінійної регресії a, b та оцінку якості лінійного наближення r2, використавши відповідно функції SLOPE, INTERCEPT та RSQ категорії Статистичні.

  9. Побудувати лінію тренду y = ax + b :

    • видилити дані A2:B13;
    • використати вказівку меню Вставка / Діаграма або натиснути кнопку на Панелі інструментів;
    • у вікні Майстер діаграм:
      • обрати тип Гістограма;
      • натиснуть кнопку Завершити ;



    • використати вказівку меню Вставка / Лінії тенденції;



    • у вікні Лінії тенденції for all Data Series вибрати:
      • вибрати тип регресії Лінійний;
      • поставити мітку Показати формулу;
      • натиснути кнопку Гаразд ;



    • правою кнопкою миші клацнути на Лінії тенденції;
    • вибрати із контекстного меню діаграми Format Trend Line (Форматувати лінію тенденцій);



    • відформатувати лінію, використовуючи закладки Тип та Лінія.





Висновок. Близький до 1 коефіцієнт кореляції свідчить про незначні випадкові відхилення від лінійної залежності з додатним кутовим коефіцієнтом.

4. Інструктаж з ТБ

5. Закріплення вивченого матеріалу

Завдання 1. Провести за поданим вище зразком кореляційний і лінійний регресійний аналіз даних про середньоденну температуру протягом 2-х тижнів, яка змінювалася таким чином (у хронологічному порядку у додатних градусах Цельсія): 13, 13, 11, 10, 9, 8, 8, 8, 9, 9, 8, 9, 8, 10. Дати прогноз температури на наступні два дні у припущенні про сталість лінійної тенденції зміни температури. Електронну таблицю записати під назвою Ваше прізвище у теку, вказану вчителем.

Вказівка
В умові подано ряд величин y. Рядом величин x є номери днів. Наприклад, натуральні числа від 1 до 14 включно.

6. Підбиття підсумків уроку
Виставлення оцінок.

7. Домашнє завдання
Спрогнозувати наступну оцінку з предмету «Інформатика», якщо відома успішність з цього предмета за останній місяць: 7, 9, 7, 8, 10, 8, 9, 9, 9, 10, 6, 9, 8, 8, 8, 8, 10, 7, 9, 10. Вважати, що ставлення і, як наслідок, тенденція зміни оцінок до предмету сталі.

Текст упорядкувала Руль Наталія Георгіївна, вчитель школи № 61, Шевченківського району міста Києва, під час виконання випускної роботи на курсах підвищення кваліфікації з 09.09.2013 по 27.09.2013.